تفاوت بین جبر بولی و منطق مرتبه اول چیست؟


پاسخ 1:

در آغاز (در قرن نوزدهم) جبر بولی وجود داشت.

از این طریق می توان تعریف کرد که چه چیزهایی مانند "و" و "یا" در رابطه با ریاضیات معنی دارند.

جبر بولی بعداً با ارائه یك تعریف واقعاً بی روح از آنچه منظور "اثبات" است رسماً رسمیت یافت.

بنابراین اگر جمله ای منطقی مانند "(A و B) یا (A AND C) = A AND (B یا C)" دارید

... سپس می توانید از قوانین منطق گزاره استفاده کنید تا ببینید آیا این به طور طبیعی از بدیهیات ناشی می شود (مفروضات اصلی ریاضی که تعریف جبر را تشکیل می دهند). اگر چنین است ، یک جمله واقعی است.

این رشته "دیدن اگر دنبال شود" منطق بیانیه نامیده می شود.

منطق غریب ، افزونه ای از منطق جمله است که مواردی مانند "برای همه" و "وجود" را معرفی می کند. این شکل از منطق شما را قادر می سازد اظهاراتی را که صحیح است ، اما در واقع از بدیهیات قابل اثبات نیست ، بیان کنید.

منطق مرتبه اول معمولاً مترادف با "منطق محمول" است.


پاسخ 2:

تفاوت های زیادی بین جبر بولی و منطق مرتبه اول وجود دارد:

  1. زبان هر دو سیستم رسمی هستند ، اما جهان کارشناسی ارشد فقط از مقادیر حقیقت تشکیل شده است و بنابراین نیازی به سنج ، عملکرد و نمادهای محمول ندارد. بنابراین الفبای او فقط از متغیرهای جمله ، اتصالات و براکت ها تشکیل شده است. از طرف دیگر ، جهان FOL (با زبان های قابل شمارش استاندارد) از اشیاء مختلفی تشکیل شده است (و در مورد FOL کلاسیک نیز دو مقدار حقیقت دارد): بنابراین الفبای آن به شمارشگرها ، نمادهای محمول و عملکرد ، متغیرهای فردی و ثابت و همچنین متغیرهای بیانیه احتیاج دارد. انواع منطق یکی می تواند هر نوع FOL را که می خواهید داشته باشد: کلاسیک ، شهودی ، مرتبط ، معین ، چند وجهی و غیره. از طرف دیگر ، BA نمایش جبری تنها مجموعه کلاسیک منطق است. یا در مورد یک منطق گزاره گزاره ای شهودی ، می توان یک جبر شبه بولی (یعنی BA ، جایی که قانون میانه محروم در آن اعمال نمی شود) داشته باشد. مدل ها همانطور که گفتم ، BA الگویی برای FOL نیست. می بینید که جبر چگونه انجام می شود. برای داشتن مدل های جبری برای FOL کلاسیک ، به ساختارهای جبری دیگری احتیاج دارید.

پاسخ 3:

منطق حسی کلاسیک الگویی از جبر بولی است.

منطق مرتبه اول نوعی از منطق حسی را شامل می شود ، دامنه ای از افراد (معمولاً انتزاعی) ، متغیرهایی که افراد را به خود اختصاص می دهد ، عملگرهای اتصال متغیر به نام سنجش دهنده ها و گزاره هایی را نشان می دهد که خصوصیات یک یا چند متغیر کمی را نشان می دهد. پیش بینی هایی که متغیرهای آنها کمیت شده ، مقادیر حقیقت را ارائه می دهند. منطق مرتبه اول مدل هایی از جبرهای چند لایه یا استوانه ای است.

منطق مرتبه اول با یک یا چند محمول تفسیر شده و با بدیهیات مربوط به این محمولات یک نظریه مرتبه اول است. بهترین تئوری مرتبه اول ، تئوری مجموعه بدیهی است که از آن می توان همه ریاضیات را بدست آورد (Google "Metamath" برای استخراج مداوم تقریبا همه ریاضیات از تئوری مجموعه معماری محوری ZFC. تئوری طبقه بندی به یک اصل نظریه مجموعه اضافی نیاز دارد. بدیهی است که تئوری مجموعه اگزایومیک فقط به یک گزاره دودویی نیاز دارد که تعبیر در نظر گرفته شده از آن ، عضویت در مجموعه است. فرمول های نظریه مجموعه بدیهی شامل متغیرهای کمی است که بیش از سه لانه عمیقا لانه نمی کنند. ریاضیات عملی این چارچوب را با تعداد زیادی علامت اختصار ، که به آنها تعاریف گفته می شود ، گسترش می دهد.

جبر بولی یک ساختار جبر رایج است. منطق مرتبه اول دروازه ای برای همه ریاضیات و منطق بیش از حد رسمی است و در بسیاری از زمینه های علوم رایانه و هوش مصنوعی نقش اصلی را ایفا می کند. سادگی ، دامنه و قدرت منطق مرتبه اول به تدریج بین سالهای 1920 تا 1950 مشخص شد.