تفاوت بین ریاضیات کاربردی و آمار چیست؟


پاسخ 1:

"آمار" معمولاً به معنای استنباط آماری - استفاده از تئوری احتمال برای تعمیم بعد از جمع آوری داده های نمونه و مشخص کردن احتمال صحت تعمیم است.

این بخشی از ریاضی کاربردی است. "ریاضیات کاربردی" در متن برنامه درسی اغلب به معنی شاخه های تحلیل بکار رفته در فیزیک ، مهندسی و اقتصاد است ، از جمله مشکلات ارزش مرزی ، تجزیه و تحلیل ابتدایی در سطح پیچیده ، کارکردهای ویژه ، انتگرال ترکیبات از آنها توابع "ابتدایی" (منطقی ، جبری) توابع مثلثاتی ، لگاریتمی و نمایی) یا بعنوان راه حل هایی برای معادلات دیفرانسیل که اغلب اتفاق می افتند بوجود می آیند.

ریاضیات کاربردی شامل تجزیه و تحلیل عددی است ، که روشهای تقریبی حل مشکلات را بررسی می کند ، پاسخ هایی که ممکن است در زنجیره اعداد غیر منطقی باشد. مبتدیان حساب به تقارن تقریبی مشتقات ، نزدیک شدن به مماس با آکورد های کوتاه تر ، یا نزدیک شدن به انتگرال ها و برآورد سطح با تقریبا پر کردن آن با یک سری مستطیل ، آموزش داده می شود. اینها روشهای ساده "عددی" هستند ، اما در ادامه چندین قضیه پیچیده درباره انتشار خطا و مباحث باطنی تر وجود دارد.

اخیراً ، کل توسعه نرم افزار تحت حمایت ریاضیات کاربردی قرار گرفته است - صرف نظر از اینکه خودکار را از نظر نظری در نظر می گیرید یا به سادگی برنامه ای برای حل یک مشکل ابتدایی می نویسید. مدل سازی رایانه در یک رشته علمی خاص می تواند به یک تخصص تمام وقت تبدیل شود. من به مدل سازی آب و هوا فکر می کنم.

حتی برخی از مباحث که معمولاً جزئی از ریاضیات "خالص" محسوب می شوند ، مانند جبر انتزاعی ، می توانند در یک برنامه درسی برای "ریاضیات کاربردی" تدریس شوند زیرا (به عنوان مثال) تئوری گروهی چارچوبی را برای تفکر در مورد طیف سنجی مولکولی فراهم می کند. ،

این امر به این نتیجه می رسد: "ریاضیات کاربردی" تقریباً تمام ریاضیاتی است که بیش از 100 سال قدمت دارد ، و برخی از موارد جدیدتر نیز وجود دارد. "آمار" یک رشته نسبتاً باریک است که معمولاً بخشی از "ریاضیات کاربردی" در نظر گرفته می شود.


پاسخ 2:

اعتراف می کنم: قبل از فارغ التحصیلی از دبیرستان ، تفکیک بین آمار و ریاضی کاربردی برایم کاملاً مشخص نبود. در واقع - واضح است! - ممکن است فکر کرده ام که آمار شاخه ای از ریاضیات است نه یک رشته جداگانه. (برعکس: نگاه کنید به Cobb & Moore (1997) در "ریاضیات ، آمار و تدریس" ، وبلاگ ویلیام بریگز و بسیاری دیگر.)

البته ، دو زمینه به طور قابل توجهی با هم همپوشانی دارند. با این وجود ، یک مدرک در یک حوزه دقیقاً همان مفاهیم را به عنوان مدرک در حوزه دیگر برجسته نمی کند. یکی از این تفاوتهایی که من دیده ام این است که آمارشناسان توجه بیشتری به تغییرپذیری می کنند. این شامل نه تنها کم کردن عدم قطعیت معمول در برآوردهای شما ، بلکه همچنین مدل سازی تنوع در جمعیت زیرین است.

در بسیاری از دوره ها و کتاب های درسی ریاضیات مقدماتی که من دیده ام ، هدف از مدل سازی معمولاً گرفتن معادل تخمین امتیاز است: رفتار سیستم پس از همگرایی به حالت پایدار ، حداکثر یا حداقل مقدار مورد نیاز و غیره شما همچنین ممکن است قادر به مدل سازی تنوع در سیستم باشید ، اما از همان ابتدا در کلاس آماری مانند شما قرار نمی گیرد.

به عنوان مثال ، من برخی از نظرات در مورد جان کوک در مورد (تراکم) روشنفکرانه متوجه شدم. کوک در ابتدا قسمت "روشنفکر" را رد کرد و موارد زیر را گفت:

تصور کنید که در هر مسیر دو خط در یک آزادراه هستید. دو اتومبیل درست در کنار یکدیگر در حد سرعت حرکت می کنند. هیچ کس نمی تواند عبور کند ، و بنابراین اتومبیل ها بلافاصله پشت زوج راهنما کمی آهسته تر از حد مجاز سرعت رانده می شوند تا مسافت ایمن را حفظ کنند. این روند تا زمانی که ترافیک به سمت خزیدن مایل در پشت دو اتومبیل مسئول ترافیک کاهش یابد ، آبشار نیست.

نظر 1:

این یک فرض نادرست است. بعد از اینکه جفت دوم وسایل نقلیه برای مدت کوتاهی کمی کندتر حرکت می کنند ، می توانند سریعتر از جفت پیشرو رانندگی کنند. مسافتی که همه با سرعت ثابت در آن حرکت می کنند یکسان خواهد بود.

نظر 2:

چرا اتومبیل های پشت سر باید کندتر حرکت کنند؟ هنگام نزدیک شدن به دو خودروی پیشرو که در کنار هم حرکت می کنند ، باید در یک فاصله ایمن تا حد مجاز سرعت کم کنید. در ابتدا می توانست بیش از حد جبران شود. در نهایت ، با این وجود ، سیستم باید به جایی تثبیت شود که همه از حد مجاز (بیش از یک آزادراه به اندازه کافی طولانی) فراتر روند تا ظرفیت جاده به یک عامل محدود کننده تبدیل نشود.

اولین واکنش من این بود که این مفسران یک ذهنیت کاربردی را نشان می دادند: یک وضعیت پایدار وجود دارد که در آن همه اتومبیل ها می توانند با همان سرعتی که زوج پیشرو دارند رانندگی کنند ، بنابراین احتمالاً این اتفاق باید می افتد.

از طرف دیگر یک آماری که به فکر تغییرپذیری است از همان ابتدا آموزش داده می شود و باید فوراً متوجه شود که خودروهای زیر قادر به تنظیم سرعت کاملاً نیستند (حتی با کنترل کروز ، احتمالاً دقیقاً همان سرعتی که اتومبیل های پیشرو دارید نخواهید ماند). ، و این یک بخش جدایی ناپذیر از مشکل خواهد بود. در واقع ، پاسخ کوک را ببینید:

به دلایل مختلف رانندگان با گذشت زمان سرعت و کند می شوند. فرض کنید سرعت شخص 10 مایل در ساعت متغیر باشد. در بزرگراه باز ، می توانید با رانندگی بین 50 تا 60 ، به طور میانگین 55 رانندگی کنید. اما اگر کسی یک 55 ثابت را در مقابل خود بکشاند ، برای حفظ تنوع معمول خود مجبور به کاهش سرعت 50 می شود.

به عبارت دیگر ، اگر "مانند یک شخص آماری فکر می کنید" به احتمال زیاد متوجه ویژگی های خاصی از مشکل خواهید شد که اگر "مثل یک ریاضیدان کاربردی فکر کنید" از دست می دهید. خوب ، نوع مدلها یا شبیه سازی هایی که در اینجا استفاده خواهید کرد ممکن است مدل هایی که به طور سنتی در یک کلاس آموخته می شوند ، نباشد. بنابراین ، ممکن است آمارشناس برای کمک به الگوسازی به یک ریاضیدان کاربردی احتیاج داشته باشد ... اما این یافته های کلیدی احتمالاً بیشتر از ابتدا مربوط به آمارشناس است.

البته این یک کاریکاتور بود - یک ریاضیدان خوب تغییرپذیری را نیز در نظر می گیرد - اما به نظر می رسد هنوز تفاوت بین تمرکز زمینه ها وجود دارد. آیا موافقید یا من الگوی اشتباهی می بینم؟

در گذشته نگر ، من همچنین خوشحالم که به جای ریاضیات کاربردی به آمار و ارقام پرداختم ، زیرا در غیر این صورت احتمالاً نمی توانستم آنقدر در تعیین کمیت تغییرات متمرکز شوم. اما من مطمئن هستم که بینشهای مفهومی مهمی وجود دارد که من به خاطر اینکه در عوض مدرک ریاضی کاربردی ندارم - بینش مفهومی وجود دارد - می دانم آنها چیست؟


پاسخ 3:

اعتراف می کنم: قبل از فارغ التحصیلی از دبیرستان ، تفکیک بین آمار و ریاضی کاربردی برایم کاملاً مشخص نبود. در واقع - واضح است! - ممکن است فکر کرده ام که آمار شاخه ای از ریاضیات است نه یک رشته جداگانه. (برعکس: نگاه کنید به Cobb & Moore (1997) در "ریاضیات ، آمار و تدریس" ، وبلاگ ویلیام بریگز و بسیاری دیگر.)

البته ، دو زمینه به طور قابل توجهی با هم همپوشانی دارند. با این وجود ، یک مدرک در یک حوزه دقیقاً همان مفاهیم را به عنوان مدرک در حوزه دیگر برجسته نمی کند. یکی از این تفاوتهایی که من دیده ام این است که آمارشناسان توجه بیشتری به تغییرپذیری می کنند. این شامل نه تنها کم کردن عدم قطعیت معمول در برآوردهای شما ، بلکه همچنین مدل سازی تنوع در جمعیت زیرین است.

در بسیاری از دوره ها و کتاب های درسی ریاضیات مقدماتی که من دیده ام ، هدف از مدل سازی معمولاً گرفتن معادل تخمین امتیاز است: رفتار سیستم پس از همگرایی به حالت پایدار ، حداکثر یا حداقل مقدار مورد نیاز و غیره شما همچنین ممکن است قادر به مدل سازی تنوع در سیستم باشید ، اما از همان ابتدا در کلاس آماری مانند شما قرار نمی گیرد.

به عنوان مثال ، من برخی از نظرات در مورد جان کوک در مورد (تراکم) روشنفکرانه متوجه شدم. کوک در ابتدا قسمت "روشنفکر" را رد کرد و موارد زیر را گفت:

تصور کنید که در هر مسیر دو خط در یک آزادراه هستید. دو اتومبیل درست در کنار یکدیگر در حد سرعت حرکت می کنند. هیچ کس نمی تواند عبور کند ، و بنابراین اتومبیل ها بلافاصله پشت زوج راهنما کمی آهسته تر از حد مجاز سرعت رانده می شوند تا مسافت ایمن را حفظ کنند. این روند تا زمانی که ترافیک به سمت خزیدن مایل در پشت دو اتومبیل مسئول ترافیک کاهش یابد ، آبشار نیست.

نظر 1:

این یک فرض نادرست است. بعد از اینکه جفت دوم وسایل نقلیه برای مدت کوتاهی کمی کندتر حرکت می کنند ، می توانند سریعتر از جفت پیشرو رانندگی کنند. مسافتی که همه با سرعت ثابت در آن حرکت می کنند یکسان خواهد بود.

نظر 2:

چرا اتومبیل های پشت سر باید کندتر حرکت کنند؟ هنگام نزدیک شدن به دو خودروی پیشرو که در کنار هم حرکت می کنند ، باید در یک فاصله ایمن تا حد مجاز سرعت کم کنید. در ابتدا می توانست بیش از حد جبران شود. در نهایت ، با این وجود ، سیستم باید به جایی تثبیت شود که همه از حد مجاز (بیش از یک آزادراه به اندازه کافی طولانی) فراتر روند تا ظرفیت جاده به یک عامل محدود کننده تبدیل نشود.

اولین واکنش من این بود که این مفسران یک ذهنیت کاربردی را نشان می دادند: یک وضعیت پایدار وجود دارد که در آن همه اتومبیل ها می توانند با همان سرعتی که زوج پیشرو دارند رانندگی کنند ، بنابراین احتمالاً این اتفاق باید می افتد.

از طرف دیگر یک آماری که به فکر تغییرپذیری است از همان ابتدا آموزش داده می شود و باید فوراً متوجه شود که خودروهای زیر قادر به تنظیم سرعت کاملاً نیستند (حتی با کنترل کروز ، احتمالاً دقیقاً همان سرعتی که اتومبیل های پیشرو دارید نخواهید ماند). ، و این یک بخش جدایی ناپذیر از مشکل خواهد بود. در واقع ، پاسخ کوک را ببینید:

به دلایل مختلف رانندگان با گذشت زمان سرعت و کند می شوند. فرض کنید سرعت شخص 10 مایل در ساعت متغیر باشد. در بزرگراه باز ، می توانید با رانندگی بین 50 تا 60 ، به طور میانگین 55 رانندگی کنید. اما اگر کسی یک 55 ثابت را در مقابل خود بکشاند ، برای حفظ تنوع معمول خود مجبور به کاهش سرعت 50 می شود.

به عبارت دیگر ، اگر "مانند یک شخص آماری فکر می کنید" به احتمال زیاد متوجه ویژگی های خاصی از مشکل خواهید شد که اگر "مثل یک ریاضیدان کاربردی فکر کنید" از دست می دهید. خوب ، نوع مدلها یا شبیه سازی هایی که در اینجا استفاده خواهید کرد ممکن است مدل هایی که به طور سنتی در یک کلاس آموخته می شوند ، نباشد. بنابراین ، ممکن است آمارشناس برای کمک به الگوسازی به یک ریاضیدان کاربردی احتیاج داشته باشد ... اما این یافته های کلیدی احتمالاً بیشتر از ابتدا مربوط به آمارشناس است.

البته این یک کاریکاتور بود - یک ریاضیدان خوب تغییرپذیری را نیز در نظر می گیرد - اما به نظر می رسد هنوز تفاوت بین تمرکز زمینه ها وجود دارد. آیا موافقید یا من الگوی اشتباهی می بینم؟

در گذشته نگر ، من همچنین خوشحالم که به جای ریاضیات کاربردی به آمار و ارقام پرداختم ، زیرا در غیر این صورت احتمالاً نمی توانستم آنقدر در تعیین کمیت تغییرات متمرکز شوم. اما من مطمئن هستم که بینشهای مفهومی مهمی وجود دارد که من به خاطر اینکه در عوض مدرک ریاضی کاربردی ندارم - بینش مفهومی وجود دارد - می دانم آنها چیست؟


پاسخ 4:

اعتراف می کنم: قبل از فارغ التحصیلی از دبیرستان ، تفکیک بین آمار و ریاضی کاربردی برایم کاملاً مشخص نبود. در واقع - واضح است! - ممکن است فکر کرده ام که آمار شاخه ای از ریاضیات است نه یک رشته جداگانه. (برعکس: نگاه کنید به Cobb & Moore (1997) در "ریاضیات ، آمار و تدریس" ، وبلاگ ویلیام بریگز و بسیاری دیگر.)

البته ، دو زمینه به طور قابل توجهی با هم همپوشانی دارند. با این وجود ، یک مدرک در یک حوزه دقیقاً همان مفاهیم را به عنوان مدرک در حوزه دیگر برجسته نمی کند. یکی از این تفاوتهایی که من دیده ام این است که آمارشناسان توجه بیشتری به تغییرپذیری می کنند. این شامل نه تنها کم کردن عدم قطعیت معمول در برآوردهای شما ، بلکه همچنین مدل سازی تنوع در جمعیت زیرین است.

در بسیاری از دوره ها و کتاب های درسی ریاضیات مقدماتی که من دیده ام ، هدف از مدل سازی معمولاً گرفتن معادل تخمین امتیاز است: رفتار سیستم پس از همگرایی به حالت پایدار ، حداکثر یا حداقل مقدار مورد نیاز و غیره شما همچنین ممکن است قادر به مدل سازی تنوع در سیستم باشید ، اما از همان ابتدا در کلاس آماری مانند شما قرار نمی گیرد.

به عنوان مثال ، من برخی از نظرات در مورد جان کوک در مورد (تراکم) روشنفکرانه متوجه شدم. کوک در ابتدا قسمت "روشنفکر" را رد کرد و موارد زیر را گفت:

تصور کنید که در هر مسیر دو خط در یک آزادراه هستید. دو اتومبیل درست در کنار یکدیگر در حد سرعت حرکت می کنند. هیچ کس نمی تواند عبور کند ، و بنابراین اتومبیل ها بلافاصله پشت زوج راهنما کمی آهسته تر از حد مجاز سرعت رانده می شوند تا مسافت ایمن را حفظ کنند. این روند تا زمانی که ترافیک به سمت خزیدن مایل در پشت دو اتومبیل مسئول ترافیک کاهش یابد ، آبشار نیست.

نظر 1:

این یک فرض نادرست است. بعد از اینکه جفت دوم وسایل نقلیه برای مدت کوتاهی کمی کندتر حرکت می کنند ، می توانند سریعتر از جفت پیشرو رانندگی کنند. مسافتی که همه با سرعت ثابت در آن حرکت می کنند یکسان خواهد بود.

نظر 2:

چرا اتومبیل های پشت سر باید کندتر حرکت کنند؟ هنگام نزدیک شدن به دو خودروی پیشرو که در کنار هم حرکت می کنند ، باید در یک فاصله ایمن تا حد مجاز سرعت کم کنید. در ابتدا می توانست بیش از حد جبران شود. در نهایت ، با این وجود ، سیستم باید به جایی تثبیت شود که همه از حد مجاز (بیش از یک آزادراه به اندازه کافی طولانی) فراتر روند تا ظرفیت جاده به یک عامل محدود کننده تبدیل نشود.

اولین واکنش من این بود که این مفسران یک ذهنیت کاربردی را نشان می دادند: یک وضعیت پایدار وجود دارد که در آن همه اتومبیل ها می توانند با همان سرعتی که زوج پیشرو دارند رانندگی کنند ، بنابراین احتمالاً این اتفاق باید می افتد.

از طرف دیگر یک آماری که به فکر تغییرپذیری است از همان ابتدا آموزش داده می شود و باید فوراً متوجه شود که خودروهای زیر قادر به تنظیم سرعت کاملاً نیستند (حتی با کنترل کروز ، احتمالاً دقیقاً همان سرعتی که اتومبیل های پیشرو دارید نخواهید ماند). ، و این یک بخش جدایی ناپذیر از مشکل خواهد بود. در واقع ، پاسخ کوک را ببینید:

به دلایل مختلف رانندگان با گذشت زمان سرعت و کند می شوند. فرض کنید سرعت شخص 10 مایل در ساعت متغیر باشد. در بزرگراه باز ، می توانید با رانندگی بین 50 تا 60 ، به طور میانگین 55 رانندگی کنید. اما اگر کسی یک 55 ثابت را در مقابل خود بکشاند ، برای حفظ تنوع معمول خود مجبور به کاهش سرعت 50 می شود.

به عبارت دیگر ، اگر "مانند یک شخص آماری فکر می کنید" به احتمال زیاد متوجه ویژگی های خاصی از مشکل خواهید شد که اگر "مثل یک ریاضیدان کاربردی فکر کنید" از دست می دهید. خوب ، نوع مدلها یا شبیه سازی هایی که در اینجا استفاده خواهید کرد ممکن است مدل هایی که به طور سنتی در یک کلاس آموخته می شوند ، نباشد. بنابراین ، ممکن است آمارشناس برای کمک به الگوسازی به یک ریاضیدان کاربردی احتیاج داشته باشد ... اما این یافته های کلیدی احتمالاً بیشتر از ابتدا مربوط به آمارشناس است.

البته این یک کاریکاتور بود - یک ریاضیدان خوب تغییرپذیری را نیز در نظر می گیرد - اما به نظر می رسد هنوز تفاوت بین تمرکز زمینه ها وجود دارد. آیا موافقید یا من الگوی اشتباهی می بینم؟

در گذشته نگر ، من همچنین خوشحالم که به جای ریاضیات کاربردی به آمار و ارقام پرداختم ، زیرا در غیر این صورت احتمالاً نمی توانستم آنقدر در تعیین کمیت تغییرات متمرکز شوم. اما من مطمئن هستم که بینشهای مفهومی مهمی وجود دارد که من به خاطر اینکه در عوض مدرک ریاضی کاربردی ندارم - بینش مفهومی وجود دارد - می دانم آنها چیست؟