تفاوت آماری بین آزمون نسبت احتمال و تست نسبت کلی احتمال چیست؟


پاسخ 1:

در زمینه تخمین پارامترها ، آزمون نسبت احتمال (LRT) فقط در مورد فرضیه های ساده اعمال می شود ، در حالی که آزمون فرضیه احتمال عمومیت (GLRT) در صورت ساده بودن فرضیه می تواند مورد استفاده قرار گیرد. فرضیه ساده ای است که در آن پارامتر مورد نظر به صراحت تعریف شده است.

به عنوان نمونه ای از استفاده از LRT ، فرض کنیم که جمعیت از توزیع عادی پیروی می کنند

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

و می خواهیم فرضیه تهی را آزمایش کنیم

H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0

و فرضیه جایگزین:

H1:μ=μ1H_1: \mu = \mu_1

، سپس آزمون آماری LRT

λ(X)=L(μ1X)L(μ2X).\lambda(X) = \frac{L(\mu_1|X)}{L(\mu_2|X)}.

به عنوان نمونه ای از استفاده از GLRT ، فرض کنیم که جمعیت از توزیع عادی پیروی می کنند

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

و می خواهیم فرضیه تهی را آزمایش کنیم

H0:μ>0H_0: \mu > 0

و فرضیه جایگزین:

H1:μ0H_1: \mu \leq 0

، توجه داشته باشید که فرضیه آزمایش به عنوان یک پارامتر مشکوک دیگر ساده نیست (

μ\mu

) به طور صریح به عنوان عدد مشخص نمی شود ، همانطور که در مثال بالا ذکر شد. در این حالت ، آمار آزمون GLRT است

λ(X)=supμΘL(μX)supμΘ0L(μX).\lambda(X) = \frac{\text{sup}_{\mu \in \Theta}{L(\mu|X)}}{\text{sup}_{\mu \in \Theta_0}{L(\mu|X)}}.

Intheaboveexpression,Θisthesetofallpossible[math]μ[/math]value(itiscalledtheparameterspace),and[math]Θ0[/math]isthesetofallpossible[math]μ[/math]valueswhere[math]μ>0[/math](thisisasubsetoftheparameterspace). In the above expression, \Theta is the set of all possible [math]\mu[/math] value (it is called the parameter space), and [math]\Theta_0[/math] is the set of all possible [math]\mu[/math] values where [math]\mu > 0[/math] (this is a subset of the parameter space).

همچنین در هر دو مثال

XX

داده نمونه ای است که برای تخمین پارامتر استفاده می شود

μ\mu

و

LL

تابع احتمال است.